Paredes, pisos de calçadas e de residências em geral recebem
revestimentos de cerâmica ou de azulejos com formatos geométricos dos mais
variados. Dois exemplos muito comuns aparecem a seguir:
Em Geometria, tais revestimentos são chamados de recobrimentos
planos porque podemos cobrir uma superfície plana repetindo esse padrão
sucessivamente. Neste texto trataremos dos recobrimentos planos compostos
apenas por polígonos regulares. Tais polígonos satisfazem a uma ou a ambas condições
seguintes:
Condição A - Os polígonos
possuem um vértice comum ou apenas um lado comum.
Condição B – Ao redor de cada vértice há a mesma distribuição de
polígonos.
Observe o exemplo
Ao redor de cada vértice há um
quadrado e dois octógonos. Esta distribuição é representada por (4, 8, 8), isto
é, ao redor de cada vértice há um quadrado (4 lados) e dois octógonos (8
lados). Note que esta figura satisfaz também a condição A e é o que chamamos de
recobrimento plano semirregular, pois é composto por polígonos regulares
diferentes. Um recobrimento plano é regular se está composto apenas por
polígonos regulares iguais. Veja o (6,
6, 6)
Kepler demonstrou que existem
exatamente 11 maneiras de se cobrir o plano utilizando-se exclusivamente
polígonos regulares sujeitos às condições A e B. São elas: (3, 12,12), (4, 6,
12), (4, 8, 8), (6, 6, 6), (4, 3, 4, 6), (3, 6, 3, 6), (4, 4, 4, 4), (3, 3, 3,
4, 4), (3, 3, 4, 3, 4), (3, 3, 3, 3, 6) e (3, 3, 3, 3, 3, 3).
Veja
outros exemplos de recobrimentos planos
(4,
6, 12)
(3,
4, 6, 4)
(12,
3, 12)
(3, 3, 3, 3, 6)
(3, 3, 3, 4, 4)
(3, 3, 3, 3, 3, 3)
(3, 6, 3, 6)
(3, 3, 4, 3, 4)
(4, 4, 4, 4)
