Blog do Bira: MATRIZES MÁGICAS

Tabelas como a que se vê ao lado são chamadas de matrizes. Não se trata de um quadrado mágico, nos quais tradicionalmente as somas dos números em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal são iguais. Entretanto, essa matriz tem algo de mágico.

Sejam A e B duas pessoas que queiram descobrir qual é o caráter mágico desta tabela. Para isto, A deve ter em mãos 20 quadradinhos de papel branco, do mesmo tamanho dos que aparecem na matriz, enquanto B deve ter em mãos 5 quadradinhos de qualquer cor, desde que não seja a branca, mas também do mesmo tamanho que os do colega A.

Então, A pede a B que escolha um número qualquer da matriz, e que coloque um quadradinho colorido sobre ele, que esconde o número. Por sua vez, A esconde os demais números da linha e da coluna, nas quais se encontra o número escolhido, cobrindo-os com quadradinhos brancos. Continuando, A pede a B que escolha outro número entre os que estão descobertos. Como fizeram antes, B cobre o número escolhido com um quadradinho colorido, e A esconde com quadradinhos brancos os que se encontram na linha e na coluna deste que foi escolhido agora. A e B repetem mais duas vezes este processo quando sobrará apenas um número, que deverá ser coberto com o quinto quadradinho colorido. A pede a B que calcule a soma dos cinco números cobertos por quadradinhos coloridos e anote o valor obtido. Agora é a vez de A escolher os números e B fica com os quadradinhos brancos. Repete-se o processo e A calcula a soma dos números cobertos pelos quadradinhos coloridos, anota a soma encontrada, compara com a soma encontrada por B, e ambos descobrem a mágica existente nessa matriz.

Faça está brincadeira com um colega seu e descubra qual a mágica que a matriz possui.

COMO CONSTRUIR MATRIZES MÁGICAS

Pode-se construir matrizes mágicas 2x2, 3x3, 4x4, etc. A que aparece no texto é uma 5x5 porque tem 5 linhas e 5 colunas. As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita, veja

Entenda como foi construída a matriz 5x5 que apresentamos na atividade descrita acima. Escolhemos aleatoriamente dois conjuntos com 5 números {3, 7, 2, 1, 5} e {4, 2, 0, 6, 3} , chamados conjuntos de geradores. Observe a figura abaixo e leia o texto

No exterior do quadrado maior (à esquerda na cor vermelha) escrevemos verticalmente os números de um dos conjuntos de geradores e, (acima na cor vermelha) escrevemos horizontalmente os números do outro conjunto de geradores. Existem na matriz 25 quadradinhos e cada um deles encontra-se na intersecção de uma linha com uma coluna. Por exemplo, o quadradinho na cor azul encontra-se na intersecção da linha 2 com a coluna 4. O número 13, escrito no seu interior, é a soma do número 7 com o número 6, que aparecem à esquerda da linha 2 e acima da coluna 4 respectivamente. Essa é a lei de formação dos elementos da matriz. Esta lei pode ser observada no quadradinho na cor rosa, que está na intersecção da linha 4 com a coluna 1. O número 5, escrito no seu interior, é a soma do número 1 com o número 4, que aparecem à esquerda da linha 4 e acima da coluna 1 respectivamente.

Qual é a mágica da matriz?

A mágica da matriz é que as duas pessoas A e B encontraram somas iguais.

JUSTIFICATIVA

A justificativa é que cada um dos 5 números escolhidos, e coberto pelos quadradinhos coloridos, esconde um par de números dos conjuntos de geradores. Além disso, cada um deles encontra-se em uma linha e uma coluna diferentes da linha e da coluna dos demais, logo os 5 números escolhidos escondem os 10 elementos dos conjuntos geradores, e portanto a soma é sempre a mesma, neste caso