O Teorema de Pitágoras

No livro I. 47 de Os Elementos, Euclides faz uma demonstração muito interessante do teorema de Pitágoras. Para isso utiliza o diagrama às vezes chamado de capelo franciscano ou cadeira da noiva. Podemos ver este diagrama na figura abaixo num cenário da primeira guerra mundial. O enunciai desse teorema, traduzido do original, é o seguinte:

"Nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que se estende sob o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os lados que contem  o ângulo reto.".

Hoje se escreve assim:

Nos triângulos retângulos, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Obs: As medidas dos lados do triângulo na mesma unidade.

O Teorema de Pitágoras na Sala de Aula

Para primeira aula de cada ano letivo que se inicia gosto de preparar algo inédito para os alunos. Em 2013 não foi diferente. Durante a semana de planejamento, preparei um texto sobre René Descartes (1596-1650), pois o tema era Geometria Analítica Plana (G.A.). Para os alunos, a primeira novidade que surge em G.A. é o cálculo da distância entre dois pontos, decorrente do Teorema de Pitágoras. Então, decidi propor uma demonstração desse teorema diferente da que eles estudaram no Ensino Fundamental. Essa demonstração é atribuída a Henry Perigal (?, ?), feita em l873. Na verdade trata-se de uma redescoberta, já que esta ideia já era conhecida por Tâbit ibn Qorra (826, 901), que nessa época ficou muito conhecido como médico, filósofo, linguista e matemático.

Acompanhe a demonstração.

Consideremos os quadrados ABFG e BCDE dispostos como na figura abaixo. Suas áreas são c² e b²  respectivamente.

Clique aqui para conhecer mais sobre o Teorema de Pitágoras. 

Ossos de Napier (não os dele)

John Napier nasceu em 1550 na Escócia, próximo a Edimburgo em Merchiston Tower. Dedicou muito tempo de sua vida à discussão de polêmicos temas políticos e religiosos daquela época, era um defensor da reforma protestante. Estudava física, astronomia, astrologia e teologia, mas graças ao seu genial intelecto, destacou-se mesmo em matemática. Criou importantes dispositivos matemáticos que passaram para a história. Para aqueles que estudaram até o ensino médio, ou autodidatas de qualquer idade, o mais conhecido são os logaritmos. Em sua época, assim como hoje em dia, os cálculos numéricos eram muito importantes na astronomia, na navegação, no comércio, na engenharia e na guerra. Nessas áreas, esses cálculos eram complicados e trabalhosos e, por isso, exigiam muito tempo para a sua execução. Não existiam  calculadoras, a primeira calculadora mecânica só foi construída em 1642 por Blaise Pascal. A invenção dos logaritmos permitiu que os cálculos ficassem significativamente mais simples e foram uma consequência de um outro dispositivo que ele criou no início do século XVII para esse mesmo fim. Esse dispositivo é chamado de  “ossos de Napier” ou ‘barras de Napier”, que são as tabuadas do 1 até o 9 estudadas no ensino fundamental, só que escritas como mostra a figura abaixo.

O nome “ossos de Napier deve-se ao fato de que eram gravadas em pedaços de ossos com formato de paralelepípedo, nas quatro faces laterais, veja a foto:

Com elas é possível efetuar multiplicações e divisões e outras operações sem ter que decorar as tabuadas.  A título de exemplo, vamos efetuar a multiplicação de 6795 por 326.

Acompanhe observando a figura seguinte:

Passo 1 – Separamos as barras 6,7, 9 e 5, e as colocamos uma ao lado da outra nessa ordem. O número 6795 é um dos fatores.

Passo 2  -  Marcamos as linhas 2, 3 e 6. O número 326 é o outro fator, logo a linha 6 corresponde ao número de unidades, a linha 2 corresponde ao número de dezenas e a linha 3 ao número de centenas.

Passo 3 - Em cada linha calculamos, da direita para a esquerda, a soma dos números de cada diagonal, separadamente. No caso da soma ser maior ou igual a 10, marcamos o algarismos das unidades e acrescentamos uma unidade na diagonal seguinte (é o tal do ”vai um”).

Passo 4 – Escrevemos os números assim gerados um sob o outro, a começar com o da linha das unidades até o da linha das centenas , deslocados de um algarismo para a esquerda e, finalmente, calculamos a sua soma. 

      A soma encontrada, 2.215.170, é o resultado da multiplicação. Faça a verificação utilizando uma calculadora. Se quiser efetue a multiplicação do jeito que você aprendeu na escola (algoritmo da multiplicação) e, assim, compreenderá o que são os números gerados acima.

      Com a invenção das calculadoras mecânicas, e posteriormente das eletrônicas, este procedimento tornou-se obsoleto. Em geral as pessoas acham que este instrumento de cálculo é interessante, mas quem gosta mesmo de matemática acha maravilhoso.

Sugestão de leituras complementares. No Google procure:

• Ossos de Napier 
• Calculadora de Blaise Pascal 

Por Gustavo do Carmo da Costa Filho e Ubirajara Favilli